Metoda dopasowania funkcji nieliniowej do danych punktów pomiarowych i jej pasmo niepewności

pol Artykuł w języku polskim DOI: 10.14313/PAR_249/45

Jacek Grzegorz Puchalski *, wyślij Zygmunt Lech Warsza ** * Główny Urząd Miar, ul. Elektoralna 2, 00-137 Warszawa ** Sieć Badawcza Łukasiewicz – Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP, Al. Jerozolimskie 202, 02-486 Warszawa

Pobierz Artykuł

Streszczenie

W pracy przedstawiono propozycję metody wyznaczania parametrów i pasma niepewności funkcji nieliniowej dopasowanej do zmierzonych danych punktów badanych. By ją zlinearyzować trzeba dokonać zamiany jednej lub obu zmiennych określonej funkcji nieliniowej. Następnie metodą regresji liniowej dobrano najkorzystniejsze parametry linii prostej dopasowanej do wartości współrzędnych punktów wg ważonego ogólnego kryterium średniokwadratowego WTLS. Uwzględnia się też współczynniki autokorelacji i korelacji wzajemnej oraz niepewności obu współrzędnych oszacowane na podstawie przewodnika GUM. Z parametrów otrzymanej linii prostej i jej pasma niepewności wynikają poszukiwane parametry funkcji nieliniowej oraz jej pasmo niepewności. Podano przykłady liczbowe wyznaczania parametrów i pasma niepewności dwiema metodami dla jednej z gałęzi paraboli drugiego stopnia oraz dla złożonej funkcji wykładniczej.

Słowa kluczowe

autokorelacja, dopasowanie, funkcja nieliniowa, korelacja wzajemna, niepewność, pasmo niepewności, regresja liniowa, ważona ogólna metoda najmniejszych kwadratów

The Method of Fitting a Non-linear Function to Data of Measured Points and its Uncertainty Band

Abstract

The paper presents a method of determining parameters and uncertainty bands of a specific non-linear function fitted to given measured data of examined points. One or both of the variables of this non-linear function are changed so as to linearize it. Using the linear regression method, fined are the most favorable parameters of this straight line for its adjustment to the measured values of the coordinates of points tested according to the weighted total mean square WTLS criterion. Their autocorrelation and cross-correlation coefficients as well as uncertainties estimated according to the rules of the GUM guide are considered. The parameters and the uncertainty band of the non-linear function result from the parameters of this straight line and its uncertainty band. Numerical examples of determining the parameters and uncertainty bands for the branch of a 2nd degree parabola (two methods) and for the complex exponential function are given.

Keywords

correlation, fit, linear regression of non-linear functions, uncertainty and its band, weighted total least squares method

Bibliografia

  1. Joint Committee for Guides in Metrology (BIPM, IEC, IFCC,ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP & OIML) JCGM 100:2008 Evaluation of Measurement Data–Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (Sevres, France: International Bureau of Weights and Measures BIPM)
  2. Golub G.H., Van Loan C.F., Matrix Computations. J. Hopkins University Press, Baltimore, 3rd ed., 1996.
  3. Grafarend E.W., Awange J.L., Applications of Linear and Nonlinear Models–Fixed Effects, Random Effects, and Total Least Squares. “Journal of Geodetic Science”, Vol. 3, No. 1, 2013, 77–78 DOI: 10.2478/jogs-2013-0009.
  4. Golub G., Van Loan C., An analysis of the total least squares problem, “SIAM Journal of Numerical Analysis”, Vol. 17, No. 6, 1980, 883–893, DOI: 10.1137/0717073.
  5. Mittelhammer R.C., Econometric Foundations, Cambridge University Press. 2000, 197–198, ISBN 0-521-62394-4.
  6. Christodoulos A., Floudalos M., Encyclopedia of Optimization. Springer, 2008. ISBN 978038774583.
  7. Dennis J.E. Jr., Schnabel R.B., Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. SIAM 1996 reproduction of Prentice-Hall 1983 edition. DOI: 10.1137/1.9781611971200.
  8. Davidson W.C., Variable Metric Method for Minimization. AEC Research and Development Report ANL 5990. DOI: 10.2172/4252678.
  9. Fletcher R., Practical methods of optimization (2nd ed.) New York John Wiley and Sons, 1987, ISBN 978-0-471-91547-8.
  10. Mascarenhas W.F., The divergence of the BFGS and Gauss Newton Methods, “Mathematical Programming”, 2013, arXiv:1309.7922, DOI: 10.48550/arXiv.1309.7922.
  11. Levenberg K., A Method for the Solution of Certain Non-Linear Problems in Least Squares. “Quarterly of Applied Mathematics”, Vol. 2, No. 2, 1944, 164–168, DOI: 10.1090/qum/10666.
  12. Marquardt D., An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters. “SIAM Journal on Applied Mathematics”, Vol. 11, No. 2, 1963, 431–441, DOI: 10.1137/0111030.
  13. Kanzow CH., Yamashita N., Fukushima M., Levenberg–Marquardt methods with strong local convergence properties for solving nonlinear equations with convex constraints. “Journal of Computational and Applied Mathematics”, Vol. 172, No. 2, 2004, 375–397, DOI: 10.1016/j.cam.2004.02.013.
  14. Krystek M., Mathias A., A least-squares algorithm for fitting data points with mutually correlated coordinates to a straight line. “Measurement Science and Technology”, Vol. 22, 2011, DOI: 10.1088/0957-0233/22/3/035101.
  15. Warsza Z.L., Puchalski J., Niepewności pomiarów w metodzie regresji liniowej. Cz. 1. Prosta i jej pasma niepewności dla nieskorelowanych danych pomiarowych, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 24, Nr 3, 2020, 79–91, DOI: 10.14313/PAR_237/79.
  16. Warsza Z.L., Puchalski J., Niepewności pomiarów w metodzie regresji liniowej. Cz. 2. Niepewności prostej regresji dla zmiennej Y o skorelowanych danych, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 24, Nr 4, 2020, 61–72, DOI: 10.14313/PAR_238/61.
  17. Warsza Z.L., Puchalski J., Uncertainty Bands of the Regression Line for Data with Type A and Type B Uncertainties of Dependent Variable Y. Proceedings of 22nd Conference on Automation 2021, Vol. 1390, 342–363, DOI: 10.1007/978-3-03074893-7_32.
  18. Warsza Z.L., Puchalski J., Uncertainty bands of the regression line for autocorrelated data of dependent variable Y. Proceedings of 22nd Conference on Automation 2021, Vol. 1390, 364–386, DOI: 10.1007/978-3-03074893-7_33.
  19. Puchalski J., A new algorithm for generalization of least square method for straight line regression in Cartesian System for fully correlated both coordinates. “International Journal of Automation, Artificial Intelligence and Machine Learning”, Vol. 2, No. 2, 2021, 20–54.
  20. Warsza Z.L., Puchalski J., Ocena dokładności pomiarów w metodzie regresji liniowej z uwzględnieniem zasad przewodnika GUM. Materiały Międzyuczelnianej Konferencji Metrologów. 53 MKM Warszawa Główny Urząd Miar, 2021, „Metrologia Teoria i Praktyka”, red. M.R. Rząsa, Studia i Monografie, z. 556 Politechnika Opolska 2021, 59–104.
  21. Warsza Z.L., Puchalski J., Method of estimation uncertainties of indirect multivariable measurement including accuracy of processing function as extension of GUM-S2. Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing AMCTM XII. Pavese F., Forbes A.B., Zhang N. F., Chunovkina A.G. (Eds.): Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences. Vol. 90, (2021), 451–463, DOI: 10.1142/9789811242380_0029.
  22. Puchalski J., Warsza Z.L., Regresja i niepewność linii prostej dla pomiarów obu zmiennych x i y ze wszystkimi korelacjami, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 26, Nr 2, 2022, 47–58, DOI: 10.14313/PAR_244/47.
  23. Puchalski J., Warsza Z.L., Wyznaczanie linii prostej metodą regresji liniowej i jej pasma niepewności według GUM z pomiarów obu zmiennych x i y przy ich autokorelacji i korelacji wzajemnej. red. J. Augustyn, Metrologia badania i zastosowania. Monografia M152 (54 MKM) Politechnika Świętokrzyska Kielce, 2022, 235–256.
  24. Puchalski J., Warsza Z.L., Linear Regression method of matching the parabolic curve to tested points of both correlated coordinates Abstract 2p. Paris MathMet 2022 EMN Conference.
  25. Draper R.D., Smith H., Applied Regression Analysis 3rd Edition Willey, New York, 1998 (polskie tłumaczenie wyd. 1 1966. Analiza regresji stosowana. PWN Warszawa 1973).