Numerical Analysis of the Discrete, Fractional Order PID Controller Using FOBD Approximation

eng Article in English DOI: 10.14313/PAR_253/117

send Krzysztof Oprzędkiewicz AGH University of Science and Technology, Faculty of Electrical Engineering, Automatic Control, Informatics and Biomedical Engineering, Department of Automatic Control and Robotics, al. A. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Poland

Download Article

Abstract

This paper proposes a methodology of the numerical testing of the discrete, approximated Fractional Order PID Controller (FOPID). The fractional parts of the controller are approximated using the Fractional Order Backward Difference (FOBD) operator. The goal of the analysis is to find the memory length optimum from point of view both accuracy and duration of computations. To do it new cost functions describing both accuracy and numerical complexity were proposed and applied. Results of tests indicate that the optimum memory length lies between 200 and 400. The proposed approach can be also useful to examine of another discrete implementations of a fractional order operator using FOBD.

Keywords

accuracy, FOBD approximation, FOPID controller, Grünwald-Letnikov definition, IAE, ISE, numerical complexity

Analiza numeryczna dyskretnego regulatora PID niecałkowitego rzędu na bazie aproksymacji FOBD

Streszczenie

W artykule zaproponowano metodologię analizy numerycznej dyskretnego, aproksymowanego regulator PID niecałkowitego rzędu (regulator FOPID). Ułamkowe części regulatora są aproksymowane z wykorzystaniem aproksymacji FOBD (Fractional Order Backward Difference). Celem analizy jest znalezienie długości pamięci (wymiaru aproksymacji) optymalnej z punktu widzenia zarówno dokładności, jak i złożoności obliczeniowej. W tym celu zaproponowano i zastosowano nowe funkcje kosztu, opisujące oba te czynniki. Wynik testów wskazują, że optymalna długość pamięci w rozważanej sytuacji powinna leżeć w zakresie między 200 i 400. Proponowane podejście może też być wykorzystane do analizy innych dyskretnych implementacji operatora niecałkowitego rzędu, wykorzystujących operator FOBD.

Słowa kluczowe

aproksymacja FOBD, definicja Grunwalda-Letnikova, dokładność, ISA, ISE, regulator FOPID, złożoność numeryczna

Bibliography

  1. Al-Alaoui M.A., Novel digital integrator and differentiator. “Electronics Letters”, Vol. 29, No. 4, 1993, 376–378, DOI: 10.1049/el:19930253.
  2. Vinagre B.M., Podlubny I., Hernandez A., Feliu V., Some approximations of fractional order operators used in control theory and applications, “Fractional Calculus and Applied Analysis”, Vol. 3, No. 3, 2000, 231–248.
  3. Buslowicz M., Kaczorek T., Simple conditions for practical stability of positive fractional discrete-time linear systems. “International Journal of Applied Mathematics and Computer Science”, Vol. 19, No. 2, 2009, 263–269, DOI: 10.2478/v10006-009-0022-6.
  4. Caponetto R., Dongola G., Fortuna L., Petráš I., Fractional order systems: Modeling and Control Applications. [In:] World Scientific Nonlinear Science Series A, Vol. 72, University of California, Berkeley, 2010.
  5. Das S., Functional Fractional Calculus for System Identification and Control. Springer, Berlin, 2010, DOI: 10.1007/978-3-540-72703-3.
  6. Kaczorek T., Selected Problems of Fractional Systems Theory. Springer, Berlin, 2011, DOI: 10.1007/978-3-642-20502-6.
  7. Kaczorek T., Rogowski K., Fractional Linear Systems and Electrical Circuits. Springer, Bialystok University of Tech nology, Bialystok, 2015, DOI: 10.1007/978-3-319-11361-6.
  8. Dorcák L., Petráš I., Terpák J., Zbrojovan M. Comparison of the methods for discrete approximation of the frac tional-order operator. [In:] Proceedings of the ICCC’2003 Conference, Slovak Republic, 851–856.
  9. Oprzędkiewicz K., Accuracy estimation of digital fractional order PID controller. [In:] Theory and applications of non-integer order systems : 8th Conference on Non-integer order calculus and its applications, Zakopane, Poland, Lecture Notes in Electrical Engineering; Vol. 407, 2017, 265–275, DOI: 10.1007/978-3-319-45474-0_24.
  10. Oprzędkiewicz K., Gawin E., A non-integer order, state space model for one dimensional heat transfer process. “Archives of Control Sciences”, Vol. 26, No. 2, 2016, 261 275, DOI: 10.1515/acsc-2016-0015.
  11. Ostalczyk P., Equivalent descriptions of a discrete-time fractional-order linear system and its stability domains. “International Journal of Applied Mathematics and Computer Science”, Vol. 22, No. 3, 2012, 533–538, DOI: 10.2478/v10006-012-0040-7.
  12. Ostalczyk P., Discrete Fractional Calculus. Applications in Control and Image Processing. World Scientific, New Jersey, London, Singapore, 2016, DOI: 10.1142/9833.
  13. Petráš I., Fractional order feedback control of a DC motor. “Journal of Electrical Engineering”, Vol. 60, No. 3, 2009, 117–128.
  14. Podlubny I., Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego, 1999.