Estymacja parametrów menzurandu dla danych z rozkładów niesymetrycznych metodą maksymalizacji wielomianu (PMM)

pol Article in Polish DOI: 10.14313/PAR_227/49

send Zygmunt Lech Warsza *, Serhii Zabolotnii ** * Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP, Al. Jerozolimskie 202, 02-486 Warszawa ** Czerkasy State Technological University, Ukraina

Download Article

Streszczenie

Przedstawiono sposób wyznaczania estymatorów wartości i niepewności menzurandu niekonwencjonalną metodą maksymalizacji wielomianu stochastycznego (PMM) dla próbki danych pomiarowych pobranych z populacji modelowanej zmienną losową o rozkładzie niesymetrycznym. W metodzie PMM stosuje się statystykę wyższego rzędu i opis z użyciem momentów lub kumulantów. Wyznaczono wyrażenia analityczne dla estymatorów wartości i niepewności standardowej typu A menzurandu za pomocą wielomianu stopnia r = 2. Niepewność standardowa wartości menzurandu otrzymana metodą PPM zależy od skośności i kurtozy rozkładu. Jest ona mniejsza od średniej arytmetycznej wyznaczanej wg przewodnika GUM i bliższa wartości teoretycznej dla rozkładu populacji danych. Jeśli rozkład ten jest nieznany, to estymatory momentów i kumulantów wyznacza się z danych pomiarowych próbki. Sprawdzono skuteczność metody PMM dla kilku podstawowych rozkładów.

Słowa kluczowe

estymator, kurtoza, rozkład niesymetryczny, skośność, wariancja, wartość średnia, wielomian stochastyczny

Estimation of measurand parameters for data from asymmetric distributions by polynomial maximization method (PMM)

Abstract

The non-standard method for evaluating estimators of the value and uncertainty type A for measurement data sampled from asymmetrical distributed with a priori partial description (unknown PDF) is presented. This method of statistical estimation is based on the mathematical apparatus of stochastic polynomials maximization and uses the higher-order statistics (moment & cumulant description) of random variables. The analytical expressions for finding estimates and analyze their accuracy to the degree of the polynomial r = 2 are obtained. It is shown that the uncertainty of estimates received for polynomial is generally less than the uncertainty of estimates obtained based on the mean (arithmetic average) according international guide GUM. Reducing the uncertainty of measurement depends on the skewness and kurtosis. On the basis of the Monte Carlo method carried out statistical modelling. Their results confirm the effectiveness of the proposed approach.

Keywords

estimator, kurtosis, means value, non-Gaussian model, skewness, stochastic polynomial, variance

Bibliography

  1. Novickij P.V., Zograf I.A., cenka pogreshnostiej resultatov izmierenii (Estimation of the measurement result errors), Energoatomizdat, Leningrad,1991 (in Russian).
  2. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, GUM (2008) with Supplement 1 Evaluation of measurement data – Propagation of distributions using a Monte Carlo method., JCGM 101: 2008. OIML Geneva, Switzerland.
  3. Doksum K., Measures of Location and Asymmetry. “Scandinavian Journal of Statistics”, Vol. 2, No. 1, 1975, 11–2 2.
  4. Schmelling M., Averaging Measurements with Hidden Correlations and Asymmetric Errors, MPI, 1(1), 2000, [http://arxiv.org/abs/hep-ex/0006004].
  5. Barlow R., Asymmetric Statistical Errors, “arXiv”, 2004, [http://arxiv.org/abs/physics/0406120].
  6. Danilov A.A., Shumarova S.A., On the asymmetry of the probability density function of the error of the results of measurements obtained by means of the complex measurement channels of measurement systems, “Measurement Techniques”, Vol. 55, No. 11, 2013), 1316–1318. DOI: 10.1007/s11018-013-0127-z.
  7. Bich W., Cox M., Michotte C., Towards a new GUM-an update. “Metrologia”, Vol. 53, No. 5, 2016, 149–159.
  8. Cox M., Shirono K., Informative Bayesian type A uncertainty evaluation, especially applicable to a small number of observations. “Metrologia”, Vol. 54, No. 5, 2017, 642–652.
  9. Levin S.F., The Identification of Probability Distributions. “Measurement Techniques”, Vol. 48, No. 2, 2005, 101–111, DOI: 10.1007/s11018-005-0106-0.
  10. Casella G., Berger R.L., Statistical inference. Pacific Grove, CA: Duxbury 2002.
  11. Galovska M., Warsza Z.L., The ways of effective estimation of measurand. “Pomiary Automatyka Komputery w Gospodarce i Ochronie Środowiska”, Nr 1, 2010, 33–41.
  12. Täubert P., Abschätzung der Genauigkeit von Messergebnissen. Verlag Technik, 1987.
  13. Kuznetsov B.F., Borodkin D.K., Lebedeva L.V., Cumulant models of additional errors. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. “Modelirovanie”, No. 1 (37), 2013, 134–138.
  14. De Carlo L.T., On the meaning and use of kurtosis. “Psychological methods”, Vol. 2, No. 3, 1997, 292–307. DOI: 10.1037/1082-989X.2.3.292.
  15. Kunchenko Y., Polynomial Parameter Estimations of Close to Gaussian Random variables. Germany, Aachen: Shaker Verlag 2002.
  16. Kunchenko Y., Stochastic polynomials, Kiev: Nauk. dumka, 275. 2006, (in Russian).
  17. Chertov O., Slipets T., Kunchenko’s polynomials for template matching, 18th IEEE International Conference on Systems, Signals and Image Processing (IWSSIP), Sarajevo, 16–18 June 2011.
  18. Zabolotnii S.V., Warsza Z.L., Semi-parametric polynomial method for retrospective estimation of the change-point of parameters of Non-Gaussian sequences, Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing X. 2015, DOI: 10.1142/9789814678629_0048.
  19. Zabolotnii S.W., Warsza Z.L., Semi-parametric polynomial modification of CUSUM algorithms for change-point detection of non-Gaussian sequences. Electronic Proceedings of XXI IMEKO World Congress “Measurement in Research and Industry” August 30,September 4, 2015, Prague, Czech Republic, 2088–2091.
  20. Palahin V., Juh J., Joint signal parameter estimation in Non–Gaussian noise by the method of polynomial maximization, “Journal of Electrical Engineering”, Vol. 67, No. 3, 2016, 217–221. DOI: 10.1515/jee-2016-0031.
  21. Cramér H., Mathematical Methods of Statistics (PMS-9), Vol. 9, Princeton University Press. 2016.
  22. Lilliefors H.W., On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. “Journal of the American Statistical Association”, Vol. 62, No. 318, 1967, 399–402, DOI: 10.2307/2283970.
  23. Warsza Z.L., Zabolotnii S.W., A polynomial estimation of measurand parameters for samples of non-Gaussian symmetrically distributed data. [in:] R. Szewczyk et all (eds.): Innovations in Automation, Robotics and Measurement Techniques. Proccedings of Automation-2017. Series: Advances in Intelligent Systems and Computing, Vol. 550. Springer Int. l Publ. AG 2017, 468–480, DOI: 10.1007/978-3-319-54042-9_45.
  24. Warsza Z.L., Metody rozszerzenia analizy niepewności pomiarów. Oficyna Wydawnicza PIAP, Warszawa 2016.